学习记忆——数学篇——案例——代数——方程——一元二次方程

a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 整体可以由： 根 ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2​= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况，即根多少由 △ △ △判断，根需要求根公式，求根公式可推导韦达定理，韦达定理可判断两根符号情况。

1.根 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的多少： △ △ △＞0，方程有两根， x 1 , 2 x_{1,2} x1,2​= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ​​，抛物线与x轴有两个交点 ； △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab​，抛物线与x轴有一个交点； △ △ △＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点； ⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的正负：两正根（ △ ≥ 0 , x 1 + x 2 ＞ 0 , x 1 x 2 ＞ 0 △≥0,x_1+x_2＞0,x_1x_2＞0 △≥0,x1​+x2​＞0,x1​x2​＞0）；两负根（ △ ≥ 0 , x 1 + x 2 ＜ 0 , x 1 x 2 ＞ 0 △≥0,x_1+x_2＜0,x_1x_2＞0 △≥0,x1​+x2​＜0,x1​x2​＞0）；异号根（ x 1 x 2 ＜ 0 x_1x_2＜0 x1​x2​＜0） ⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的区间： ⟹ \Longrightarrow ⟹ 根与系数关系： x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1​+x2​=−ab​， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1​⋅x2​=ac​。

2. △ △ △判别式 ⟹ \Longrightarrow ⟹ b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＞0，方程有两根， x 1 , 2 x_{1,2} x1,2​= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ​​，抛物线与x轴有两个交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab​，抛物线与x轴有一个交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ y y y的最值为 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2​ ＝ －△ 4 a \frac{－△}{4a} 4a－△​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 △ ∣ a ∣ \frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣a∣△ ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 ( △ ) 3 8 a 2 \frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 8a2(△ ​)3​

3.求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2​= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1​+x2​=2a−b＋△ ​​＋2a−b−△ ​​=−ab​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1​⋅x2​=2a−b＋b2−4ac ​​∗2a−b−b2−4ac ​​=ac​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1​−x2​∣=∣2a−b＋△ ​​−2a−b−△ ​​∣=∣a∣△ ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21​⋅∣y∣⋅∣x1​−x2​∣=∣4a－△​∣∗∣a∣△ ​​=8a2(△ ​)3​

4.韦达定理： x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1​+x2​=−ab​， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1​⋅x2​=ac​， ∣ x 1 − x 2 ∣ = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1​−x2​∣=∣a∣b2−4ac ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 求出关于两个根的对称轮换式的数值 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理： x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} x1​+x2​+x3​=−ab​， x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1​x2​x3​=−ad​， x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a x_1x_3+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} x1​x3​+x2​x3​+x1​x3​=ac​ ⟹ \Longrightarrow ⟹

.bilibili /read/cv4538376/

韦达定理由求根公式推导而来 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2​= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1​+x2​=2a−b＋△ ​​＋2a−b−△ ​​=−ab​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1​⋅x2​=2a−b＋b2−4ac ​​∗2a−b−b2−4ac ​​=ac​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1​−x2​∣=∣2a−b＋△ ​​−2a−b−△ ​​∣=∣a∣△ ​​ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21​⋅∣y∣⋅∣x1​−x2​∣=∣4a－△​∣∗∣a∣△ ​​=8a2(△ ​)3​ or

由韦达定理的结论和完全平方公式可推出： ∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1​−x2​∣=(x1​+x2​)2−4x1​x2​ ​=∣a∣b2−4ac ​​ = △ ∣ a ∣ =\frac{\sqrt{△}}{|a|} =∣a∣△ ​​

根的分布问题：正负根问题和区间根问题