MIMO系统信道容量（开环与闭环）
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- 2025-08-25 15:45:01
矩阵知识补充: 矩阵 A A ∗ AA^* AA∗（其中 A A A是一个复数矩阵， A ∗ A^* A∗是其共轭转置）的迹（即对角元素之和）具有几个重要的特性：
非负性：由于 A A ∗ AA^* AA∗是正定或至少是半正定的，它的对角元素必然是实数，它的所有特征值都是非负实数。因为矩阵的迹等于其所有特征值的和，所以 A A ∗ AA^* AA∗的迹也是非负实数。
与内积的关系：在某种意义上， A A ∗ AA^* AA∗的迹可以看作是矩阵 A A A各列向量之间内积的总和。具体来说，如果将 A A A的列视为向量，则 A A ∗ AA^* AA∗的迹实际上是这些列向量各自的模长平方和，反映了 A A A在空间中扩展或压缩体积的能力。
度量矩阵的规模：在应用中， A A ∗ AA^* AA∗的迹常被用来衡量矩阵的总体“规模”或“能量”。例如，在信号处理领域，对于信号的自相关矩阵（通常形如 A A ∗ AA^* AA∗），其迹可以解释为信号的总功率。
MIMO系统信道容量表达式中的行列式（det）？
1. 从单天线到多天线的推广在单天线（SISO）系统中，香农容量公式为： C = log 2 ( 1 + SNR ⋅ ∣ h ∣ 2 ) C = \log_2 \left( 1 + \text{SNR} \cdot |h|^2 \right) C=log2(1+SNR⋅∣h∣2) 其中 h h h是信道增益，容量与信道的功率增益 ∣ h ∣ 2 |h|^2 ∣h∣2直接相关。
在多天线（MIMO）系统中，信道变成一个矩阵 H \mathbf{H} H，其容量不再是单一信道的相加，而是通过矩阵的奇异值（或特征值）表征多个并行的子信道。每个子信道相当于独立的传输路径，它们的容量可以叠加。
2. 为什么需要行列式（det）？
行列式的物理意义在于它量化了一个线性变换的“体积缩放因子”。在MIMO信道中， d e t ( I + S N R ∗ H H H ) det(I + SNR * H^H H) det(I+SNR∗HHH) 的作用是：
将所有并行子信道的贡献统一表达：矩阵 H H H \mathbf{H}^H \mathbf{H} HHH的特征值表示各个子信道的增益（平方奇异值 σ i 2 \sigma_i^2 σi2）。乘积反映总容量：行列式是矩阵特征值的乘积，因此： det ( I + SNR ⋅ H H H ) = ∏ i = 1 n T ( 1 + SNR ⋅ σ i 2 ) \det(\mathbf{I} + \text{SNR} \cdot \mathbf{H}^H \mathbf{H}) = \prod_{i=1}^{n_T} \left( 1 + \text{SNR} \cdot \sigma_i^2 \right) det(I+SNR⋅HHH)=i=1∏nT(1+SNR⋅σi2) 每个因子 ( 1 + SNR ⋅ σ i 2 ) (1 + \text{SNR} \cdot \sigma_i^2) (1+SNR⋅σi2)对应一个子信道的容量，总容量是它们的乘积取对数。3. 数学推导步骤 （1）奇异值分解（SVD）
对MIMO信道矩阵进行奇异值分解： H = U Σ V H , \mathbf{H} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^H, H=UΣVH, 其中 Σ \mathbf{\Sigma} Σ是对角矩阵，包含奇异值 σ i \sigma_i σi，代表各子信道的增益。
（2）等效标子信道模型通过预编码和合并，MIMO信道可以解耦为多个并行子信道，每个子信道的容量为： C i = log 2 ( 1 + SNR n T σ i 2 ) C_i = \log_2 \left( 1 + \frac{\text{SNR}}{n_T} \sigma_i^2 \right) Ci=log2(1+nTSNRσi2)
（3）总容量的合并总容量是所有子信道容量之和： C 总 = ∑ i = 1 n T C i = log 2 ∏ i = 1 n T ( 1 + SNR n T σ i 2 ) C_{\text{总}} = \sum_{i=1}^{n_T} C_i = \log_2 \prod_{i=1}^{n_T} \left( 1 + \frac{\text{SNR}}{n_T} \sigma_i^2 \right) C总=i=1∑nTCi=log2i=1∏nT(1+nTSNRσi2) 而特征值的乘积对应于行列式： ∏ i = 1 n T ( 1 + SNR n T λ i ) = det ( I + SNR n T H H H ) , \prod_{i=1}^{n_T} \left( 1 + \frac{\text{SNR}}{n_T} \lambda_i \right) = \det\left( \mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{n_T} \mathbf{H}^H \mathbf{H} \right), i=1∏nT(1+nTSNRλi)=det(I+nTSNRHHH), 因此总容量可简洁地表示为： C OL = log 2 det ( I + SNR n T H H H ) . C_{\text{OL}} = \log_2 \det\left( \mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{n_T} \mathbf{H}^H \mathbf{H} \right). COL=log2det(I+nTSNRHHH).
4. 物理意义 并行传输：MIMO系统通过空间维度创建多个独立的子信道，行列式 det \det det的作用是统计这些子信道的总容量。对数的性质： log ( det ( ⋅ ) ) \log(\det(\cdot)) log(det(⋅))本质上是 ∑ log ( ⋅ ) \sum \log(\cdot) ∑log(⋅)，这继承了香农公式中对数叠加的思想。均匀功率分配：开环条件下功率均分到所有天线上，因此每个子信道的功率为 SNR n T \frac{\text{SNR}}{n_T} nTSNR。
5. 对比闭环容量
在闭环容量（如注水算法）中，功率不再均匀分配。优化后的容量表达式为： C CL = ∑ i = 1 r log 2 ( 1 + p i σ i 2 n T ) , C_{\text{CL}} = \sum_{i=1}^{r} \log_2 \left( 1 + p_i \frac{\sigma_i^2}{n_T} \right), CCL=i=1∑rlog2(1+pinTσi2), 其中 p i p_i pi是注水算法优化的功率分配值。此时 det \det det不再直接出现，而是显式地写出每个子信道的影响。
闭环容量公式中没有使用 det \det det的原因是：功率分配改变了每个子信道的增益权重，无法直接用统一的行列式表达式覆盖动态调整的功率¹。但若将功率分配矩阵显式写出，仍然可以通过行列式表达： C CL = log 2 det ( I + 1 n T Γ Σ 2 ) , C_{\text{CL}} = \log_2 \det\left( \mathbf{I} + \frac{1}{n_T} \mathbf{\Gamma} \mathbf{\Sigma}^2 \right), CCL=log2det(I+nT1ΓΣ2), 其中 Γ = diag ( p 1 , p 2 , … , p n T ) \mathbf{\Gamma} = \text{diag}(p_1, p_2, \dots, p_{n_T}) Γ=diag(p1,p2,…,pnT)。
总结 行列式的作用：在开环容量中，行列式 det \det det是将多个独立子信道的容量合并成一个紧凑表达式的数学工具，体现了多天线系统的空间复用本质。对比单天线系统：在单天线系统中，总容量直接相加；在多天线系统中，行列式自然地将独立子信道的乘积转换为对数和（通过 log ∏ = ∑ log \log \prod = \sum \log log∏=∑log）。
通过这个视角可以看出，行列式的出现是信息论在多天线系统中的数学抽象，是容量计算在矩阵领域的推广。
¹ 闭环容量也可用行列式表达，但需显式包含功率分配矩阵。在代码实现中，这通过 np.diag(Gamma) 体现。
开环和闭环信道容量的数学表达式推导过程：
1. MIMO系统模型
假设一个 n T × n R n_T \times n_R nT×nR的 MIMO 系统，信道矩阵为 H \mathbf{H} H，其建模为： H = R rx 1 / 2 H w R tx 1 / 2 \mathbf{H} = \mathbf{R}_{\text{rx}}^{1/2} \mathbf{H}_w \mathbf{R}_{\text{tx}}^{1/2} H=Rrx1/2HwRtx1/2 其中： - H w \mathbf{H}_w Hw是独立同分布（i.i.d.）的复高斯信道矩阵，元素服从 C N ( 0 , 1 ) \mathcal{CN}(0,1) CN(0,1)。 - R tx \mathbf{R}_{\text{tx}} Rtx和 R rx \mathbf{R}_{\text{rx}} Rrx是发射端和接收端的相关矩阵（代码中为指数衰减相关模型）。
2. 开环信道容量（Channel Unknown） 假设条件： 发射端 不知道 信道状态信息（CSI），功率均匀分配到所有天线上。 数学推导：
等效信道协方差矩阵： H H H = U Λ U H \mathbf{H}^H \mathbf{H} = \mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^H HHH=UΛUH 其中 Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , … , λ n T ) \mathbf{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n_T}) Λ=diag(λ1,λ2,…,λnT)， λ i \lambda_i λi是奇异值的平方。
容量公式： 开环容量由以下公式给出： C OL = E [ log 2 det ( I + SNR n T H H H ) ] C_{\text{OL}} = \mathbb{E} \left[ \log_2 \det \left( \mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{n_T} \mathbf{H}^H \mathbf{H} \right) \right] COL=E[log2det(I+nTSNRHHH)]
由于功率均匀分配，每个天线的功率为 SNR n T \frac{\text{SNR}}{n_T} nTSNR。公式中的期望 E [ ⋅ ] \mathbb{E}[\cdot] E[⋅]是对信道矩阵 H \mathbf{H} H的统计平均（代码中通过蒙特卡洛仿真实现）。代码对应：
tmp = H.conj().T @ H / nT C_44_OL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i] * tmp)) tmp 对应 1 n T H H H \frac{1}{n_T} \mathbf{H}^H \mathbf{H} nT1HHH，因此容量公式中为 I + SNR ⋅ H H H n T \mathbf{I} + \text{SNR} \cdot \frac{\mathbf{H}^H \mathbf{H}}{n_T} I+SNR⋅nTHHH。3. 闭环信道容量（Channel Known） 假设条件： 发射端 知道 信道状态信息（CSI），通过注水算法优化功率分配。 数学推导：
奇异值分解（SVD）： 对信道矩阵进行 SVD 分解： H = U Σ V H \mathbf{H} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^H H=UΣVH - Σ = diag ( σ 1 , σ 2 , … , σ n T ) \mathbf{\Sigma} = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_{n_T}) Σ=diag(σ1,σ2,…,σnT)，其中 σ i = λ i \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} σi=λi 是奇异值。
注水算法优化功率分配：
优化目标：最大化信道容量： C CL = max { p i } ∑ i = 1 n T log 2 ( 1 + p i σ i 2 n T ) C_{\text{CL}} = \max_{\{p_i\}} \sum_{i=1}^{n_T} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \sigma_i^2}{n_T} \right) CCL={pi}maxi=1∑nTlog2(1+nTpiσi2) 约束条件为： ∑ i = 1 n T p i = SNR , p i ≥ 0 \sum_{i=1}^{n_T} p_i = \text{SNR}, \quad p_i \ge 0 i=1∑nTpi=SNR,pi≥0注水算法解： p i = ( μ − n T σ i 2 ) + p_i = \left( \mu - \frac{n_T}{\sigma_i^2} \right)^+ pi=(μ−σi2nT)+ 其中 μ \mu μ是注水水平，满足 ∑ p i = SNR \sum p_i = \text{SNR} ∑pi=SNR。闭环容量公式： 优化后的容量为： C CL = E [ ∑ i = 1 n T log 2 ( 1 + p i σ i 2 n T ) ] C_{\text{CL}} = \mathbb{E} \left[ \sum_{i=1}^{n_T} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \sigma_i^2}{n_T} \right) \right] CCL=E[i=1∑nTlog2(1+nTpiσi2)] 或等价地： C CL = E [ log 2 det ( I + SNR n T Γ Σ 2 ) ] C_{\text{CL}} = \mathbb{E} \left[ \log_2 \det \left( \mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{n_T} \mathbf{\Gamma} \mathbf{\Sigma}^2 \right) \right] CCL=E[log2det(I+nTSNRΓΣ2)] 其中 Γ = diag ( p 1 , p 2 , … , p n T ) \mathbf{\Gamma} = \text{diag}(p_1, p_2, \dots, p_{n_T}) Γ=diag(p1,p2,…,pnT)。
代码对应：
Gamma = water_pouring(SV, SNR_linear[i], nT) C_44_CL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i]/nT * np.diag(Gamma) @ np.diag(SV))) SV 是奇异值 σ i \sigma_i σi的数组，对应 Σ \mathbf{\Sigma} Σ。Gamma 是注水算法计算出的功率分配系数 p i p_i pi，对应 Γ \mathbf{\Gamma} Γ。4. 注水算法的数学核心
问题形式化： max { p i } ∑ i = 1 r log 2 ( 1 + p i λ i n T ) , s.t. ∑ i = 1 r p i = SNR , p i ≥ 0 \max_{\{p_i\}} \sum_{i=1}^{r} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \lambda_i}{n_T} \right), \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{r} p_i = \text{SNR}, \quad p_i \ge 0 {pi}maxi=1∑rlog2(1+nTpiλi),s.t.i=1∑rpi=SNR,pi≥0 其中 λ i = σ i 2 \lambda_i = \sigma_i^2 λi=σi2， r r r是有效子信道数（取决于信道秩）。
拉格朗日乘数法： 构造拉格朗日函数： L = ∑ i = 1 r log 2 ( 1 + p i λ i n T ) − μ ( ∑ i = 1 r p i − SNR ) \mathcal{L} = \sum_{i=1}^{r} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \lambda_i}{n_T} \right) - \mu \left( \sum_{i=1}^{r} p_i - \text{SNR} \right) L=i=1∑rlog2(1+nTpiλi)−μ(i=1∑rpi−SNR) 对 p i p_i pi求导并令导数为零，得到： λ i / n T 1 + p i λ i n T = μ ⇒ p i = ( 1 μ − n T λ i ) + \frac{\lambda_i / n_T}{1 + \frac{p_i \lambda_i}{n_T}} = \mu \quad \Rightarrow \quad p_i = \left( \frac{1}{\mu} - \frac{n_T}{\lambda_i} \right)^+ 1+nTpiλiλi/nT=μ⇒pi=(μ1−λinT)+ 其中 μ \mu μ是注水阈值，需满足总功率约束。
5. 关键区别总结 场景功率分配容量公式开环均匀分配 p i = SNR / n T p_i = \text{SNR}/n_T pi=SNR/nT C OL = E [ log 2 det ( I + SNR n T H H H ) ] C_{\text{OL}} = \mathbb{E} \left[ \log_2 \det \left( \mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{n_T} \mathbf{H}^H \mathbf{H} \right) \right] COL=E[log2det(I+nTSNRHHH)]闭环注水算法优化 p i p_i pi C CL = E [ ∑ i = 1 r log 2 ( 1 + p i λ i n T ) ] C_{\text{CL}} = \mathbb{E} \left[ \sum_{i=1}^{r} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \lambda_i}{n_T} \right) \right] CCL=E[∑i=1rlog2(1+nTpiλi)]
6. 物理意义
开环：
功率均匀分配，适用于信道快速变化或反馈受限的场景。容量由信道矩阵的奇异值分布决定，无法主动优化。闭环：
通过注水算法将更多功率分配给质量更好的子信道（奇异值大的方向）。在高SNR时，容量增益显著，体现了信道状态信息的重要性。# time: 2025/2/20 19:54 # author: YanJP import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.linalg import sqrtm # 用于计算矩阵的平方根 # 注水算法函数 def water_pouring(Lamda, SNR, nT): Gamma = np.zeros_like(Lamda) r = len(Lamda) index = np.arange(r) index_temp = index.copy() p = 1 while p < r: irp = np.arange(r - p + 1) temp = np.sum(1 / Lamda[index_temp[irp]]) mu = nT / (r - p + 1) * (1 + 1 / SNR * temp) Gamma[index_temp[irp]] = mu - nT / (SNR * Lamda[index_temp[irp]]) if np.min(Gamma[index_temp]) < 0: i = np.argmin(Gamma) ii = np.where(index_temp == i)[0][0] index_temp = np.concatenate((index_temp[:ii], index_temp[ii + 1:])) p += 1 Gamma = np.zeros_like(Lamda) else: p = r Gamma_t = np.zeros_like(Lamda) Gamma_t[index_temp] = Gamma[index_temp] return Gamma_t # 程序功能说明 # 观察MIMO在开环和闭环下的信道容量，注水算法的理论 SNR_dB = np.arange(0, 21, 5) SNR_linear = 10 ** (SNR_dB / 10) N_iter = 1000 # 4x4 MIMO配置 nT = 4 nR = 4 n = min(nT, nR) I = np.eye(n) rho = 0.2 sq2 = np.sqrt(0.5) # 发射端和接收端相关矩阵 Rtx = np.array([ [1, rho, rho**2, rho**3], [rho, 1, rho, rho**2], [rho**2, rho, 1, rho], [rho**3, rho**2, rho, 1] ]) Rrx = np.array([ [1, rho, rho**2, rho**3], [rho, 1, rho, rho**2], [rho**2, rho, 1, rho], [rho**3, rho**2, rho, 1] ]) C_44_OL = np.zeros(len(SNR_dB)) C_44_CL = np.zeros(len(SNR_dB)) for iter in range(N_iter): Hw = sq2 * (np.random.randn(nR, nT) + 1j * np.random.randn(nR, nT)) # 使用 scipy.linalg.sqrtm 计算矩阵的平方根 H = sqrtm(Rrx) @ Hw @ sqrtm(Rtx) tmp = H.conj().T @ H / nT SV = np.linalg.svd(H.conj().T @ H, compute_uv=False) for i in range(len(SNR_dB)): # 开环容量 C_44_OL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i] * tmp)) # 闭环容量（使用注水算法） Gamma = water_pouring(SV, SNR_linear[i], nT) C_44_CL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i] / nT * np.diag(Gamma) @ np.diag(SV))) C_44_OL = np.real(C_44_OL) / N_iter C_44_CL = np.real(C_44_CL) / N_iter # 绘制结果 plt.figure() plt.plot(SNR_dB, C_44_OL, '-o', label='Channel Unknown') plt.plot(SNR_dB, C_44_CL, '-<', label='Channel Known') plt.xlabel('SNR [dB]') plt.ylabel('bps/Hz') plt.grid(True) plt.legend() plt.show()
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