数据结构（初阶）（七）----树和二叉树（堆，堆排序）

八，树与二叉树 树 概念与结构

树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由 n（n>=0） 个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。

• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。

• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每⼀个集合Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵结构与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。

树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构

⼦树是不相交的（如果存在相交就是图了）

除了根结点外，每个结点有且仅有⼀个⽗结点

⼀棵N个结点的树有N-1条边

树的相关术语

⽗结点/双亲结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点； 如上图：A是B的⽗结点

⼦结点/孩⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点； 如上图：B是A的孩⼦结点

结点的度：⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0

树的度：⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

叶⼦结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B、C、H、I… 等结点为叶结点

分⽀结点/⾮终端结点：度不为 0 的结点； 如上图： D、E、F、G… 等结点为分⽀结点

兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)； 如上图： B、C 是兄弟结点

结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；

树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次； 如上图：树的⾼度为 4

结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q

⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙

森林：由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树有很多种表⽰⽅式如：双亲表⽰法，孩⼦表⽰法、孩⼦双亲表⽰法以及孩⼦兄弟表⽰法等。我们这⾥就简单的了解其中最常⽤的孩⼦兄弟表⽰法

struct TreeNode { struct TreeNode* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点 struct TreeNode* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点 int data; // 结点中的数据域 };

二叉树 概念与结构

在树形结构中，我们最常⽤的就是⼆叉树，⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点 加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。

⼆叉树具备以下特点：

1，⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点

2，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的

满⼆叉树

⼀个⼆叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀个⼆叉树的层数为 K ，且结点总数是 2k − 1 ，则它就是满⼆叉树。

完全⼆叉树

完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个

结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从 1 ⾄ n 的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。

⼆叉树性质

根据满⼆叉树的特点可知：

1）若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 2i−1 个结点

2）若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 2h − 1

3）若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满⼆叉树的深度 h = log2 (n + 1) ( log

以2为底， n+1 为对数)

⼆叉树存储结构 顺序结构 链式结构 实现顺序结构的二叉树

⼀般堆使⽤顺序结构的数组来存储数据，堆是⼀种特殊的⼆叉树，具有⼆叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

堆

小堆（小根堆）：堆顶是堆里最小的数据

大堆（小根堆）：堆顶是堆里最大的数据

堆的性质

堆中某个结点的值总是不⼤于或不⼩于其⽗结点的值；

堆总是⼀棵完全⼆叉树。

⼆叉树性质

对于具有 n 个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的数组顺序对所有结点从

0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

1，若 i>0 ， i 位置结点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，⽆双亲结点

2，若 2i+1<n ，左孩⼦序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则⽆左孩⼦

3，若 2i+2<n ，右孩⼦序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则⽆右孩⼦

堆的实现

堆底层结构为数组

头文件Heap.h #pragma once #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<assert.h> #include<stdbool.h> //堆的结构 typedef int HPDataType; typedef struct Heap { HPDataType* arr; int size; //有效数据个数 int capacity; //空间大小 }HP; //初始化 void HPInit(HP* php); //销毁 void HPDestory(HP* php); //打印 void HPPrint(HP* php); //入堆 void HPPush(HP* php, HPDataType x); //判断堆是否为空 bool HPEmpty(HP* php); //向下调整 void AdjustDowm(HPDataType* arr, int parent, int n); //出堆 void HPPop(HP* php); //取堆顶元素 HPDataType* HPTop(HP* php); 实现Heap.c #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include"Heap.h" //初始化 void HPInit(HP* php) { assert(php); php->arr = NULL; php->size = php->capacity = 0; } //销毁 void HPDestory(HP* php) { assert(php); if (php->arr) free(php->arr); php->arr = NULL; php->size = php->capacity = 0; } //打印 void HPPrint(HP* php) { assert(php); for (int i = 0; i < php->size; i++) { printf("%d ", php->arr[i]); } printf("\n"); } //交换 void Swap(int* x, int* y) { int tmp = *x; *x = *y; *y = tmp; } //调整 void AdjustUp(HPDataType* arr,int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { //控制小堆，大堆 if (arr[child] > arr[parent]) { Swap(&arr[child], &arr[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } } //入堆 void HPPush(HP* php, HPDataType x) { assert(php); //判断空间 if (php->size == php->capacity) { int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity; HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr,sizeof(HPDataType) * newcapacity); if (tmp == NULL) { perror("HPPush()::realloc fail"); exit(1); } php->arr = tmp; php->capacity = newcapacity; } //插入 php->arr[php->size] = x; //调整，向上调整 AdjustUp(php->arr,php->size - 1); ++php->size; } //判断堆是否为空 bool HPEmpty(HP* php) { assert(php); return php->size == 0; } //向下调整 void AdjustDowm(HPDataType* arr,int parent,int n) { int child = 2 * parent + 1; while (child < n) { //控制大堆，小堆 //保证右孩子同样不越界 if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1]) { child++; } if (arr[child] > arr[parent]) { Swap(&arr[child], &arr[parent]); parent = child; child = 2 * parent + 1; } else { break; } } } //出堆 //出的是堆顶元素 //1，堆顶元素与最后一个（size-1）元素交换 //2，调整，向下调整，假设成大堆，比较左右孩子，较大的与父结点比较。 void HPPop(HP* php) { //首先堆不能为空 assert(!HPEmpty(php)); //先交换 Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]); --php->size; //调整 AdjustDowm(php->arr,0,php->size); } //取堆顶元素 HPDataType* HPTop(HP* php) { assert(!HPEmpty(php)); return php->arr[0]; } 测试文件test.c #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include"Heap.h" void test() { HP hp; HPInit(&hp); HPPush(&hp, 15); HPPush(&hp, 10); HPPush(&hp, 56); HPPush(&hp, 70); HPPush(&hp, 45); HPPrint(&hp); //HPPop(&hp); //HPPop(&hp); //HPPop(&hp); //HPPrint(&hp); while (!HPEmpty(&hp)) { int top = HPTop(&hp); printf("%d ", top); HPPop(&hp); } HPDestory(&hp); } int main() { test(); return 0; } 堆排序 //交换 void Swap(int* x, int* y) { int tmp = *x; *x = *y; *y = tmp; } //向上调整 void AdjustUp(HPDataType* arr,int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { //控制小堆<，大堆> if (arr[child] > arr[parent]) { Swap(&arr[child], &arr[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } } //向下调整 void AdjustDowm(int* arr,int parent,int n) { int child = 2 * parent + 1; while (child < n) { //控制大堆<，小堆> //保证右孩子同样不越界 if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]) { child++; } //大堆>，小堆< if (arr[child] < arr[parent]) { Swap(&arr[child], &arr[parent]); parent = child; child = 2 * parent + 1; } else { break; } } } //堆排序(借助堆的思想实现) void HPSort2(int* arr, int n) { 建堆,向下调整,升序大堆，降序小堆 //assert(arr); //for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) //{ // AdjustDowm(arr, i, n); //} 建堆,向上调整 assert(arr); for (int i = 0; i < n; i++) { AdjustUp(arr, i); } //堆排序 int end = n - 1; while (end > 0) { Swap(&arr[0],&arr[end]); AdjustDowm(arr, 0, end); end--; } } int main() { test(); int arr[] = { 2,3,5,1,9,7,5,8,6,0 }; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); for (int i = 0; i < n; i++) { printf("%d ", arr[i]); } printf("\n"); HPSort2(&arr, n); for (int i = 0; i < n; i++) { printf("%d ", arr[i]); } printf("\n"); return 0; }

我们可以发现建堆时，使用向上（向下）调整算法都可以，那么哪种更好一点呢？

从时间复杂度来进行比较，向上调整算法建堆的时间复杂度为O(n ∗ log2 n) ，向下调整算法建堆的时间复杂度为O(n)，所以一般使用向下调整算法建堆

下面是分析过程：

向上调整算法建堆时间复杂度 向下调整算法建堆时间复杂度 TOP-K问题

n >> k