Deepseek:物理神经网络PINN入门教程

一、物理信息网络（PINN）的概念与原理 1. 定义与来源

物理信息网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）是一种将物理定律（如偏微分方程、守恒定律等）嵌入神经网络训练过程的深度学习方法。其核心思想是通过神经网络同时拟合观测数据并满足物理约束，从而解决传统数值方法难以处理的高维、噪声数据或复杂边界条件问题。 来源：PINN起源于对传统数值方法局限性的改进需求（如网格生成复杂、反问题求解困难），结合了深度学习中的自动微分技术与物理建模思想，2017年由Raissi等人首次提出并应用于流体力学问题。

2. 核心原理 网络架构：全连接神经网络，输入为时空坐标（如x, y, t），输出为物理量（如温度、速度）。损失函数：包含两部分： 数据驱动损失：网络输出与观测数据的均方误差（MSE）。物理驱动损失：将物理方程（如热传导方程）的残差作为约束项，通过自动微分计算偏导数。 训练目标：最小化联合损失函数，使网络既拟合数据又满足物理规律。

数学表达示例（以热传导方程为例）： 假设控制方程为： ∂ T ∂ t = k ( ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 ) \frac{\partial T}{\partial t} = k \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \right) ∂t∂T​=k(∂x2∂2T​+∂y2∂2T​) 损失函数为： L = MSE data + λ ⋅ MSE PDE \mathcal{L} = \text{MSE}_\text{data} + \lambda \cdot \text{MSE}_\text{PDE} L=MSEdata​+λ⋅MSEPDE​ 其中， MSE PDE \text{MSE}_\text{PDE} MSEPDE​为方程残差的均方误差， λ \lambda λ为权重系数。

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二、3个典型应用案例与PyTorch实现

以下三个案例详细说明PINN的实现过程：

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案例1：一维热传导方程

物理场景： 模拟金属棒的温度随时间扩散的过程。初始时棒的一端高温，另一端低温，热量逐渐扩散直至平衡。 控制方程： ∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂t∂u​=α∂x2∂2u​ 其中， u ( x , t ) u(x,t) u(x,t) 为温度， α \alpha α 为热扩散系数。

解决思路：

网络设计：输入坐标( (x, t) )，输出温度( u )。物理残差：计算预测值的时空导数，代入方程得到残差。损失函数：数据损失（初始/边界条件） + 残差损失（内部点）。

PyTorch实现：

import torch import torch.nn as nn class HeatPINN(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.net = nn.Sequential( nn.Linear(2, 64), nn.Tanh(), nn.Linear(64, 64), nn.Tanh(), nn.Linear(64, 1) ) def forward(self, x, t): inputs = torch.cat([x, t], dim=1) return self.net(inputs) def heat_residual(u_pred, x, t, alpha): u_t = torch.autograd.grad(u_pred, t, grad_outputs=torch.ones_like(u_pred), create_graph=True)[0] u_x = torch.autograd.grad(u_pred, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_pred), create_graph=True, retain_graph=True)[0] u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0] residual = u_t - alpha * u_xx return torch.mean(residual**2) # 模拟数据（初始条件：u(x,0)=sin(πx)，边界条件：u(0,t)=u(1,t)=0） x = torch.linspace(0, 1, 100).unsqueeze(1) t = torch.linspace(0, 1, 100).unsqueeze(1) X, T = torch.meshgrid(x.squeeze(), t.squeeze()) u_initial = torch.sin(torch.pi * X) # 初始时刻温度分布 model = HeatPINN() optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=1e-3) alpha = 0.01 for epoch in range(1000): # 内部点残差损失 x_in = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) t_in = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) u_pred = model(x_in, t_in) loss_pde = heat_residual(u_pred, x_in, t_in, alpha) # 初始/边界条件损失 u_initial_pred = model(x, torch.zeros_like(x)) loss_ic = torch.mean((u_initial_pred - u_initial)**2) total_loss = loss_pde + loss_ic optimizer.zero_grad() total_loss.backward() optimizer.step()

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案例2：泊松方程（静电势场）

物理场景： 计算二维空间中电荷分布产生的静电势场。已知电荷密度分布( f(x,y) )，求解势场( u(x,y) )。 控制方程： ∇ 2 u = f ( x , y ) \nabla^2 u = f(x, y) ∇2u=f(x,y)

解决思路：

网络设计：输入坐标( (x, y) )，输出势场( u )。物理残差：计算预测值的二阶导数，代入泊松方程。边界条件：固定区域边界的势场值（如Dirichlet边界）。

PyTorch实现：

class PoissonPINN(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.net = nn.Sequential( nn.Linear(2, 32), nn.ReLU(), nn.Linear(32, 32), nn.ReLU(), nn.Linear(32, 1) ) def forward(self, x, y): inputs = torch.cat([x, y], dim=1) return self.net(inputs) def poisson_residual(u_pred, x, y, f): u_x = torch.autograd.grad(u_pred, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_pred), create_graph=True)[0] u_y = torch.autograd.grad(u_pred, y, grad_outputs=torch.ones_like(u_pred), create_graph=True)[0] u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0] u_yy = torch.autograd.grad(u_y, y, grad_outputs=torch.ones_like(u_y), create_graph=True)[0] residual = u_xx + u_yy - f(x, y) return torch.mean(residual**2) # 电荷密度函数（示例：f(x,y) = 2π² sin(πx) sin(πy)） def f_source(x, y): return 2 * (torch.pi**2) * torch.sin(torch.pi * x) * torch.sin(torch.pi * y) model = PoissonPINN() optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=1e-3) for epoch in range(2000): x = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) y = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) u_pred = model(x, y) loss_pde = poisson_residual(u_pred, x, y, f_source) # 边界条件（假设边界u=0） x_bc = torch.cat([torch.zeros(100,1), torch.ones(100,1), torch.rand(100,1), torch.rand(100,1)], dim=0) y_bc = torch.cat([torch.rand(100,1), torch.rand(100,1), torch.zeros(100,1), torch.ones(100,1)], dim=0) u_bc_pred = model(x_bc, y_bc) loss_bc = torch.mean(u_bc_pred**2) # 假设边界u=0 total_loss = loss_pde + loss_bc optimizer.zero_grad() total_loss.backward() optimizer.step()

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案例3：降水预测（气象学）

物理场景： 根据大气参数（如温度、湿度）预测降水分布，结合Koren-Feingold云雨模型。 控制方程： ∂ q ∂ t = − v ⋅ ∇ q + S ( q ) \frac{\partial q}{\partial t} = -v \cdot \nabla q + S(q) ∂t∂q​=−v⋅∇q+S(q) 其中， q q q 为云水含量， S ( q ) S(q) S(q) 为降水源项。

解决思路：

多模态输入：输入空间坐标( (x,y,t) )和气象参数（如温度）。物理约束：在损失函数中加入云水守恒方程和降水生成项。

PyTorch实现：

class PrecipitationPINN(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.net = nn.Sequential( nn.Linear(3, 64), nn.Tanh(), # 输入(x, y, t) nn.Linear(64, 64), nn.Tanh(), nn.Linear(64, 2) # 输出(云水含量q, 降水率p) ) def forward(self, x, y, t): inputs = torch.cat([x, y, t], dim=1) return self.net(inputs) def cloud_loss(model, x, y, t, v_x, v_y): q_pred, p_pred = model(x, y, t) # 计算云水守恒方程残差 q_t = torch.autograd.grad(q_pred, t, grad_outputs=torch.ones_like(q_pred), create_graph=True)[0] q_x = torch.autograd.grad(q_pred, x, grad_outputs=torch.ones_like(q_pred), create_graph=True)[0] q_y = torch.autograd.grad(q_pred, y, grad_outputs=torch.ones_like(q_pred), create_graph=True)[0] residual = q_t + v_x * q_x + v_y * q_y + p_pred # 假设S(q)=降水率p return torch.mean(residual**2) # 训练过程（示例） model = PrecipitationPINN() optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=1e-3) v_x, v_y = 0.1, 0.2 # 风速分量 for epoch in range(3000): x = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) y = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) t = torch.rand(500, 1, requires_grad=True) loss_physics = cloud_loss(model, x, y, t, v_x, v_y) # 假设有部分观测数据 q_obs = torch.rand(100, 1) # 模拟云水含量观测值 t_obs = torch.rand(100, 1) q_pred, _ = model(x_obs, y_obs, t_obs) loss_data = torch.mean((q_pred - q_obs)**2) total_loss = loss_physics + loss_data optimizer.zero_grad() total_loss.backward() optimizer.step()

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3. 总结与展望

PINN的优势在于无需网格离散化、可处理高维问题，但训练稳定性（如梯度爆炸）仍需改进。未来方向包括：

多物理场耦合（如流体-结构相互作用）实时控制（如自动驾驶中的动态模型）与强化学习结合（如优化控制问题）

通过以上案例和代码，初学者可逐步掌握PINN的核心逻辑与实现方法。