机器学习笔记——常用损失函数

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文章目录 热门专栏机器学习深度学习 损失函数一、回归问题中的损失函数1. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）2. 平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）3. 对数余弦损失（Log-Cosh Loss）4. Huber 损失（Huber Loss）5. 平均平方对数误差（Mean Squared Logarithmic Error, MSLE）总结 二、分类问题中的损失函数1. 0-1 损失（0-1 Loss）2. 对数损失（Log Loss）或交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）二分类问题多分类问题 3. Focal 损失（Focal Loss）4. Hinge 损失（合页损失）5. Kullback-Leibler 散度（KL Divergence）总结

损失函数 一、回归问题中的损失函数 1. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）

定义：

MSE = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 MSE=n1​i=1∑n​(yi​−y^​i​)2

描述：MSE 衡量的是预测值和真实值之间的平方误差的平均值。对较大的误差会进行更大的惩罚，因此它对异常值（outliers）非常敏感。应用场景：线性回归、岭回归等模型的损失函数。优点：简单易于理解，容易求导和计算。缺点：对异常值敏感，可能导致模型被少数异常样本主导。 2. 平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）

定义： MAE = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i ∣ \text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i| MAE=n1​i=1∑n​∣yi​−y^​i​∣

描述：MAE 衡量的是预测值和真实值之间的绝对误差的平均值。它对每个误差的惩罚是线性的，因此对异常值的惩罚不如 MSE 严重。应用场景：在对异常值不敏感的回归任务中使用。优点：对异常值不敏感，能够更加稳定地反映模型性能。缺点：在优化过程中，绝对值函数不可导，求解困难。 3. 对数余弦损失（Log-Cosh Loss）

定义： Log-Cosh Loss = 1 n ∑ i = 1 n log ⁡ ( cosh ⁡ ( y i − y ^ i ) ) \text{Log-Cosh Loss} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log\left(\cosh\left(y_i - \hat{y}_i\right)\right) Log-Cosh Loss=n1​i=1∑n​log(cosh(yi​−y^​i​))

说明： cosh ⁡ ( x ) \cosh(x) cosh(x): 双曲余弦函数，公式为 cosh ⁡ ( x ) = e x + e − x 2 \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} cosh(x)=2ex+e−x​。

描述：对数余弦损失是Huber 损失的变体，它的行为类似于 MAE，同时对大误差有更小的增长率。应用场景：适用于异常值影响较大的回归任务。优点：具有平滑性，易于求导，对小误差敏感而对大误差鲁棒。缺点：相比其他损失函数计算复杂度较高。 4. Huber 损失（Huber Loss）

定义： L ( y i , y ^ i ) = { 1 2 ( y i − y ^ i ) 2 if  ∣ y i − y ^ i ∣ ≤ δ , δ ⋅ ∣ y i − y ^ i ∣ − 1 2 δ 2 if  ∣ y i − y ^ i ∣ > δ . L(y_i, \hat{y}_i) = \begin{cases} \frac{1}{2} (y_i - \hat{y}_i)^2 & \text{if } |y_i - \hat{y}_i| \leq \delta, \\ \delta \cdot |y_i - \hat{y}_i| - \frac{1}{2} \delta^2 & \text{if } |y_i - \hat{y}_i| > \delta. \end{cases} L(yi​,y^​i​)={21​(yi​−y^​i​)2δ⋅∣yi​−y^​i​∣−21​δ2​if ∣yi​−y^​i​∣≤δ,if ∣yi​−y^​i​∣>δ.​

δ \delta δ: 超参数，定义切换 MSE 和 MAE 的阈值。 ∣ y i − y ^ i ∣ |y_i - \hat{y}_i| ∣yi​−y^​i​∣: 误差的绝对值。 描述：Huber 损失是MSE 和 MAE 的折中。对于小误差，使用 MSE；对于大误差，使用 MAE，从而对异常值有一定的鲁棒性。应用场景：回归问题中存在异常值，但又不希望过于忽略异常值的场景。优点：对小误差敏感，同时对大误差具有一定的抗干扰性。缺点：参数 ( δ \delta δ) 需要手动调节，不同数据集效果不同。 5. 平均平方对数误差（Mean Squared Logarithmic Error, MSLE）

定义： MSLE = 1 n ∑ i = 1 n ( log ⁡ ( 1 + y i ) − log ⁡ ( 1 + y ^ i ) ) 2 \text{MSLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \log(1 + y_i) - \log(1 + \hat{y}_i) \right)^2 MSLE=n1​i=1∑n​(log(1+yi​)−log(1+y^​i​))2

n n n: 数据点的总数。 y i y_i yi​: 第 i i i 个真实值（必须为非负数）。 y ^ i \hat{y}_i y^​i​: 第 i i i 个预测值（必须为非负数）。 log ⁡ ( 1 + x ) \log(1 + x) log(1+x): 对 x x x 加 1 后取自然对数，用于平滑较小的值和避免对 0 的对数操作。 描述：MSLE 用于处理目标值差异较大且有显著指数增长趋势的情况。它更关注相对误差，而非绝对误差。应用场景：如人口增长预测、市场销量预测等场景。优点：对大数值的预测更稳定，对目标值的比例关系有更好的衡量。缺点：当目标值非常小时，惩罚效果不明显。 总结 损失函数描述应用场景优点缺点均方误差 (MSE)衡量预测值和真实值之间平方误差的平均值，对较大误差进行更大惩罚。线性回归、岭回归等简单易于理解，容易求导。对异常值敏感。平均绝对误差 (MAE)衡量预测值和真实值之间绝对误差的平均值。对异常值不敏感的回归任务对异常值不敏感，反映模型性能更稳定。优化困难，绝对值函数不可导。对数余弦损失 (Log-Cosh)Huber 损失的变体，既能捕捉小误差，也对大误差有更小的增长率。异常值影响较大的回归任务平滑性好，易于求导，适应大误差和小误差。计算复杂度高。Huber 损失 (Huber Loss)结合MSE和MAE，小误差时使用 MSE，大误差时使用 MAE，平衡异常值的影响。存在异常值但不希望完全忽略的场景对小误差敏感，对大误差有抗干扰性。需调节参数 (delta)。平均平方对数误差 (MSLE)衡量目标值差异大且有指数增长趋势的情况，关注相对误差而非绝对误差。人口增长预测、市场销量预测等对大数值预测更稳定，适应有比例关系的数据。对极小值目标效果不佳。 二、分类问题中的损失函数 1. 0-1 损失（0-1 Loss）

定义：

L ( y , y ^ ) = { 0 , if  y = y ^ , 1 , if  y ≠ y ^ . L_(y, \hat{y}) = \begin{cases} 0, & \text{if } y = \hat{y}, \\ 1, & \text{if } y \neq \hat{y}. \end{cases} L(​y,y^​)={0,1,​if y=y^​,if y=y^​.​

描述：0-1 损失表示分类是否正确，0 为正确分类，1 为错误分类。它无法直接用于模型优化，只能用于评价模型性能。应用场景：模型性能的评估，如准确率（Accuracy）的计算。优点：简单直观，能够清晰判断分类是否正确。缺点：不可导，无法用于梯度优化。 2. 对数损失（Log Loss）或交叉熵损失（Cross-Entropy Loss） 描述：交叉熵损失衡量的是预测分布和真实分布之间的距离。在二分类与 Sigmoid 函数结合；在多分类与 Softmax 函数结合。应用场景：广泛用于逻辑回归、神经网络等分类任务。优点：能够很好地度量概率分布之间的差异，梯度计算简单。缺点：对数据不平衡较为敏感。 二分类问题

在二分类问题中，交叉熵损失衡量真实标签 ( y y y ) 和预测概率 ( y ^ \hat{y} y^​ ) 之间的差异。公式为：

L ( y , y ^ ) = − [ y log ⁡ ( y ^ ) + ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − y ^ ) ] L(y, \hat{y}) = - \left[ y \log(\hat{y}) + (1 - y) \log(1 - \hat{y}) \right] L(y,y^​)=−[ylog(y^​)+(1−y)log(1−y^​)] 符号说明

y ∈ { 0 , 1 } y \in \{0, 1\} y∈{0,1}：真实标签（0 表示负类，1 表示正类）。 y ^ ∈ [ 0 , 1 ] \hat{y} \in [0, 1] y^​∈[0,1]：预测为正类的概率。 多分类问题

对于 k k k 个类别的多分类问题，交叉熵损失扩展为多个输出类的加权损失，公式为：

L ( y , y ^ ) = − ∑ i = 1 k y i log ⁡ ( y ^ i ) L(y, \hat{y}) = - \sum_{i=1}^{k} y_i \log(\hat{y}_i) L(y,y^​)=−i=1∑k​yi​log(y^​i​)

符号说明

k k k：类别数量。 y i ∈ { 0 , 1 } y_i \in \{0, 1\} yi​∈{0,1}：第 i i i 类的真实标签，使用独热编码表示（只有一个值为 1，其余为 0）。 y ^ i ∈ [ 0 , 1 ] \hat{y}_i \in [0, 1] y^​i​∈[0,1]：模型预测的第 i i i 类的概率，通常通过 softmax 函数获得。

Sigmoid 函数：

公式： σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z)=\frac1{1+e^{-z}} σ(z)=1+e−z1​其中， z z z 是模型的线性输出，即预测值。Sigmoid 函数将模型的线性输出 z z z转化为一个介于 0 和 1 之间的值，表示属于类别 1 的概率。

交叉熵损失：

在二分类任务中，真实标签 y y y通常取 0(负类)或1(正类)。交叉熵损失的公式为： L o s s = − [ y ⋅ log ⁡ ( p ) + ( 1 − y ) ⋅ log ⁡ ( 1 − p ) ] \mathrm{Loss}=-\left[y\cdot\log(p)+(1-y)\cdot\log(1-p)\right] Loss=−[y⋅log(p)+(1−y)⋅log(1−p)] 其中， p = σ ( z ) p=\sigma(z) p=σ(z)是经过 Sigmoid 函数后模型预测属于类别 1 的概率。

Softmax 函数：

公式： S o f t m a x ( z i ) = e z i ∑ j e z j \mathrm{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}} Softmax(zi​)=∑j​ezj​ezi​​其中， z i z_i zi​ 是第 i i i 个类别的得分， ∑ j e z j \sum_j e^{z_j} ∑j​ezj​ 是所有类别的得分的指数和。Softmax 函数将每个类别的得分 z i z_i zi​ 转化为一个概率 p i p_i pi​，即样本属于第 i i i 个类别的概率。

交叉熵损失：

在多分类任务中，真实标签 y y y 是一个 one-hot 编码向量，即样本的真实类别的概率是 1，其他类别的概率是 0。交叉熵损失的公式： Loss = − ∑ i y i ⋅ log ⁡ ( p i ) \text{Loss} = -\sum_i y_i \cdot \log(p_i) Loss=−i∑​yi​⋅log(pi​) 其中， p i p_i pi​ 是 Softmax 函数输出的属于类别 i i i 的概率， y i y_i yi​ 是真实的类别标签，通常为 0 或 1。 3. Focal 损失（Focal Loss）

定义： Focal Loss = − α t ( 1 − p ^ t ) γ log ⁡ ( p ^ t ) \text{Focal Loss} = -\alpha_t (1 - \hat{p}_t)^\gamma \log(\hat{p}_t) Focal Loss=−αt​(1−p^​t​)γlog(p^​t​)

其中： p ^ t \hat{p}_t p^​t​ 是模型对正确类别的预测概率。 α t \alpha_t αt​ 是类别平衡权重，用来调整类别不平衡问题， α t ∈ [ 0 , 1 ] \alpha_t \in [0, 1] αt​∈[0,1]，通常用于为不同类别分配不同的权重。 γ \gamma γ 是调节因子，控制模型对难分类样本的关注程度，常取值为 0 到 5 之间，通常选取 γ = 2 \gamma = 2 γ=2 效果较好。

注：t 是该样本的真实类别标签

p ^ t \hat{p}_{t} p^​t​: 这是模型对样本真实类别 t t t 的预测概率。假设样本属于类别 t t t，则 p ^ t \hat{p}_{t} p^​t​ 就是模型对类别 t t t 的预测概率。如果是二分类任务， t t t 为 1 代表正类，为 0 代表负类；如果是多分类任务， t t t 是类别的索引。 α t \alpha_{t} αt​: 这是类别 t t t 的权重系数。通过 t t t，可以为当前样本所属类别 t t t 分配一个权重 α t \alpha_{t} αt​。对于不平衡数据集来说， α t \alpha_{t} αt​ 通常设置为少数类的权重大，主要用来调整损失函数对不同类别样本的关注程度。 描述：Focal 损失是对交叉熵损失的改进，用于解决类别不平衡问题。通过调节参数 ( γ \gamma γ ) 和 ( α \alpha α )，它增加了对困难样本的关注，降低了对易分类样本的影响。应用场景：目标检测中的单阶段检测器（如 RetinaNet），以及其他类别不平衡的分类问题。优点：有效解决类别不平衡问题，增强模型对困难样本的关注。缺点：参数选择复杂，训练时间较长。 4. Hinge 损失（合页损失）

定义：对于二分类问题： L ( y , y ^ ) = max ⁡ ( 0 , 1 − y ⋅ y ^ ) L(y, \hat{y}) = \max(0, 1 - y \cdot \hat{y}) L(y,y^​)=max(0,1−y⋅y^​)

其中， y ∈ { − 1 , 1 } y \in \{ -1, 1 \} y∈{−1,1}， y ^ \hat{y} y^​是模型的预测输出。

描述：Hinge 损失用于支持向量机（SVM）中。它在样本被正确分类且间隔大于 1 时，损失为 0；否则损失为 1。旨在最大化样本的分类间隔。应用场景：线性支持向量机、核支持向量机等。优点：有助于最大化分类间隔，提高模型的泛化能力。缺点：对于误差大的样本损失增长过快。 5. Kullback-Leibler 散度（KL Divergence）

定义： K L ( p ∥ q ) = ∑ i p ( x i ) log ⁡ p ( x i ) q ( x i ) KL(p \parallel q) = \sum_i p(x_i) \log \frac{p(x_i)}{q(x_i)} KL(p∥q)=i∑​p(xi​)logq(xi​)p(xi​)​

描述：KL 散度衡量两个概率分布之间的差异，常用于无监督学习中的聚类分析。应用场景：概率模型的优化，如变分自编码器（VAE）、生成对抗网络（GAN）中的判别模型。优点：对概率分布之间的微小差异非常敏感。缺点：对稀疏分布的概率模型不稳定。 总结 损失函数描述应用场景优点缺点0-1 损失 (0-1 Loss)分类正确为 0，错误为 1，用于衡量分类是否正确。准确率等分类性能评估简单直观。不可导，无法用于优化。交叉熵损失 (Cross-Entropy)衡量预测分布和真实分布之间的距离，二分类结合 Sigmoid，多分类结合 Softmax。逻辑回归、神经网络等分类任务很好地衡量概率分布差异，梯度计算简单。对数据不平衡敏感。Focal 损失 (Focal Loss)交叉熵的改进，通过调节 ( gamma ) 和 ( alpha )，增加对困难样本的关注，减少易分类样本影响，解决类别不平衡问题。类别不平衡问题，如目标检测 (RetinaNet)增强对困难样本的关注，解决类别不平衡。参数选择复杂，训练时间较长。Hinge 损失 (合页损失)用于 SVM，正确分类且间隔大于 1 时损失为 0，旨在最大化分类间隔。线性 SVM、核 SVM提高泛化能力，有助于最大化分类间隔。对误差大的样本损失增长快。KL 散度 (KL Divergence)衡量两个概率分布的差异，常用于无监督学习中的聚类分析。概率模型优化，如 VAE、GAN对概率分布的差异敏感。对稀疏分布不稳定。