数据结构：二叉树

1.树概念及结构 1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1又是一棵结构与树类似的子树。

每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。

 

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构  

1.2 树的相关概念 

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林； 

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType; struct Node { struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点 DataType data; // 结点中的数据域 };

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构） 

2.二叉树概念及结构 2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 2.2现实中的二叉树：

 

 2.3 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

/* * 假设二叉树有N个结点 * 从总结点数角度考虑：N = n0 + n1 + n2 ① * * 从边的角度考虑，N个结点的任意二叉树，总共有N-1条边 * 因为二叉树中每个结点都有双亲，根结点没有双亲，每个节点向上与其双亲之间存在一条边 * 因此N个结点的二叉树总共有N-1条边 * * 因为度为0的结点没有孩子，故度为0的结点不产生边; 度为1的结点只有一个孩子，故每个度为1的结 点* * 产生一条边; 度为2的结点有2个孩子，故每个度为2的结点产生两条边，所以总边数为： n1+2*n2 * 故从边的角度考虑：N-1 = n1 + 2*n2 ② * 结合① 和 ②得：n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1 * 即：n0 = n2 + 1 */

4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps： 是log以2 为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

2. 若2i+1，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3. 若2i+2，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ） A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199 2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ） A 非完全二叉树 B 堆 C 队列 D 栈 3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ） A n B n+1 C n-1 D n/2 4.一棵完全二叉树的结点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ） A 11 B 10 C 8 D 12 5.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（） A 383 B 384 C 385 D 386 答案： 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

 

 3.二叉树的顺序结构及实现 3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： 且 = 且 >= ) i = 0，1， 2…，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；

堆总是一棵完全二叉树。 

选择题

1.下列关键字序列为堆的是：（） A 100,60,70,50,32,65 B 60,70,65,50,32,100 C 65,100,70,32,50,60 D 70,65,100,32,50,60 E 32,50,100,70,65,60 F 50,100,70,65,60,32 2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次 数是（）。 A 1 B 2 C 3 D 4 3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为 A(11 5 7 2 3 17) B(11 5 7 2 17 3) C(17 11 7 2 3 5) D(17 11 7 5 3 2) E(17 7 11 3 5 2) F(17 7 11 3 2 5) 4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是（） A[3，2，5，7，4，6，8] B[2，3，5，7，4，6，8] C[2，3，4，5，7，8，6] D[2，3，4，5，6，7，8]

选择题答案

1.A 2.C 3.C 4.C 3.3 堆的实现 3.3.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根结点开始的向下调整算法可以把它调整 成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

3.3.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算 法，把它构建成一个堆。根结点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子结点的 子树开始调整，一直调整到根结点的树，就可以调整成堆。  

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

3.3.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的 就是近似值，多几个结点不影响最终结果)：  

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。  

3.3.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

3.3.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调 整算法。 

3.3.6 堆的代码实现  typedef int HPDataType; typedef struct Heap { HPDataType* _a; int _size; int _capacity; }Heap; // 堆的构建 void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n); // 堆的销毁 void HeapDestory(Heap* hp); // 堆的插入 void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x); // 堆的删除 void HeapPop(Heap* hp); // 取堆顶的数据 HPDataType HeapTop(Heap* hp); // 堆的数据个数 int HeapSize(Heap* hp); // 堆的判空 int HeapEmpty(Heap* hp); 3.4 堆的应用 3.4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序 建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

3.4.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。

最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆

前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。 

void PrintTopK(int* a, int n, int k) { // 1. 建堆--用a中前k个元素建堆 // 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换 } void TestTopk() { int n = 10000; int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n); srand(time(0)); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { a[i] = rand() % 1000000; } a[5] = 1000000 + 1; a[1231] = 1000000 + 2; a[531] = 1000000 + 3; a[5121] = 1000000 + 4; a[115] = 1000000 + 5; a[2335] = 1000000 + 6; a[9999] = 1000000 + 7; a[76] = 1000000 + 8; a[423] = 1000000 + 9; a[3144] = 1000000 + 10; PrintTopK(a, n, 10); } 4.二叉树链式结构的实现 4.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二 叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树 操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

typedef int BTDataType; typedef struct BinaryTreeNode { BTDataType _data; struct BinaryTreeNode* _left; struct BinaryTreeNode* _right; }BTNode; BTNode* CreatBinaryTree() { BTNode* node1 = BuyNode(1); BTNode* node2 = BuyNode(2); BTNode* node3 = BuyNode(3); BTNode* node4 = BuyNode(4); BTNode* node5 = BuyNode(5); BTNode* node6 = BuyNode(6); node1->_left = node2; node1->_right = node4; node2->_left = node3; node4->_left = node5; node4->_right = node6; return node1; }

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。 再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是： 1. 空树

2. 非空：根结点，根结点的左子树、根结点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

4.2二叉树的遍历 4.2.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的结点进行相应的操作，并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历 是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。 

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。  

// 二叉树前序遍历 void PreOrder(BTNode* root); // 二叉树中序遍历 void InOrder(BTNode* root); // 二叉树后序遍历 void PostOrder(BTNode* root);

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，同学们可自己动手绘制。

前序遍历递归图解：

 

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

4.2.2 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层 上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

 

// 层序遍历 void LevelOrder(BTNode* root);

练习：请写出下面的前序/中序/后序/层序遍历

选择题

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ ） A ABDHECFG B ABCDEFGH C HDBEAFCG D HDEBFGCA 2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为（） A E B F C G D H 3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。 A adbce B decab C debac D abcde 4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列 为 A FEDCBA B CBAFED C DEFCBA D ABCDEF

选择题答案

1.A 2.A 3.D 4.A 4.3 结点个数以及高度等 // 二叉树结点个数 int BinaryTreeSize(BTNode* root); // 二叉树叶子结点个数 int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root); // 二叉树第k层结点个数 int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k); // 二叉树查找值为x的结点 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x); 4.4 二叉树的创建和销毁

二叉树的构建及遍历。

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树 BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi); // 二叉树销毁 void BinaryTreeDestory(BTNode** root); // 判断二叉树是否是完全二叉树 int BinaryTreeComplete(BTNode* root);

好了，我们今天的内容就讲到这里，谢谢大家