R²决定系数

R 2 R^2 R2（决定系数）是一个用于衡量统计模型拟合数据的指标，通常用于线性回归分析。它表示模型所解释的因变量（目标变量）方差的比例，范围从0到1。

更具体地说， R 2 R^2 R2告诉我们模型能够解释因变量变化的百分比。当 R 2 R^2 R2接近1时，模型能够很好地拟合数据，因为它能够解释大部分因变量的变化。当 R 2 R^2 R2接近0时，模型无法很好地拟合数据，因为它不能解释因变量的变化。

R 2 R^2 R2的公式如下： R 2 = 1 − S S R S S T R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} R2=1−SSTSSR​

其中：

R 2 R^2 R2：决定系数SSR（Sum of Squares Residual）：残差平方和，表示模型预测值与实际观测值之间的差异的总和。SST（Total Sum of Squares）：总平方和，表示因变量的总变差，即实际观测值与因变量均值之间的差异的总和。

为了更好地理解 R 2 R^2 R2，让我们通过一个通俗易懂的例子来说明：

假设你是一名销售经理，想要建立一个线性回归模型，来预测每月销售额与广告投入的关系。你收集了12个月的数据，如下：

月份广告投入（万元）销售额（万元）12.010.122.512.533.013.043.514.354.015.264.516.075.016.885.518.196.018.5106.519.6117.020.5127.521.2

你建立了一个线性回归模型，拟合出如下的方程： 销售额 = 2.5 ∗ 广告投入 + 5.0 销售额 = 2.5 * 广告投入 + 5.0 销售额=2.5∗广告投入+5.0

现在，让我们计算 R 2 R^2 R2来评估模型的拟合质量。

首先，计算SST（总平方和）： SST = Σ(销售额 - 销售额均值)² = (10.1 - 16.675)² + (12.5 - 16.675)² + … + (21.2 - 16.675)² ≈ 121.35

接下来，计算SSR（残差平方和），即模型预测值与实际销售额之间的差异的总和： SSR = Σ(实际销售额 - 模型预测值)² = (10.1 - (2.5 * 2.0 + 5.0))² + (12.5 - (2.5 * 2.5 + 5.0))² + … + (21.2 - (2.5 * 7.5 + 5.0))² ≈ 23.05

现在，使用R²的公式计算 R 2 R^2 R2： R 2 = 1 − S S R S S T = 1 − 23.05 121.35 ≈ 0.810 R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{23.05}{121.35} ≈ 0.810 R2=1−SSTSSR​=1−121.3523.05​≈0.810

这意味着你的模型能够解释销售额变化的大约81%。这是一个相对较高的 R 2 R^2 R2值，表明你的模型相对准确地拟合了数据，广告投入对销售额有较强的解释能力。