[组合数学]LeetCode:2954:统计感冒序列的数目

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题目

给你一个整数 n 和一个下标从 0 开始的整数数组 sick ，数组按 升序 排序。 有 n 位小朋友站成一排，按顺序编号为 0 到 n - 1 。数组 sick 包含一开始得了感冒的小朋友的位置。如果位置为 i 的小朋友得了感冒，他会传染给下标为 i - 1 或者 i + 1 的小朋友，前提 是被传染的小朋友存在且还没有得感冒。每一秒中， 至多一位 还没感冒的小朋友会被传染。 经过有限的秒数后，队列中所有小朋友都会感冒。感冒序列 指的是 所有 一开始没有感冒的小朋友最后得感冒的顺序序列。请你返回所有感冒序列的数目。 由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。 注意，感冒序列 不 包含一开始就得了感冒的小朋友的下标。 示例 1： 输入：n = 5, sick = [0,4] 输出：4 解释：一开始，下标为 1 ，2 和 3 的小朋友没有感冒。总共有 4 个可能的感冒序列：

一开始，下标为 1 和 3 的小朋友可以被传染，因为他们分别挨着有感冒的小朋友 0 和 4 ，令下标为 1 的小朋友先被传染。 然后，下标为 2 的小朋友挨着感冒的小朋友 1 ，下标为 3 的小朋友挨着感冒的小朋友 4 ，两位小朋友都可以被传染，令下标为 2 的小朋友被传染。 最后，下标为 3 的小朋友被传染，因为他挨着感冒的小朋友 2 和 4 ，感冒序列为 [1,2,3] 。一开始，下标为 1 和 3 的小朋友可以被传染，因为他们分别挨着感冒的小朋友 0 和 4 ，令下标为 1 的小朋友先被传染。 然后，下标为 2 的小朋友挨着感冒的小朋友 1 ，下标为 3 的小朋友挨着感冒的小朋友 4 ，两位小朋友都可以被传染，令下标为 3 的小朋友被传染。 最后，下标为 2 的小朋友被传染，因为他挨着感冒的小朋友 1 和 3 ，感冒序列为 [1,3,2] 。感冒序列 [3,1,2] ，被传染的顺序：[0,1,2,3,4] => [0,1,2,3,4] => [0,1,2,3,4] => [0,1,2,3,4] 。感冒序列 [3,2,1] ，被传染的顺序：[0,1,2,3,4] => [0,1,2,3,4] => [0,1,2,3,4] => [0,1,2,3,4] 。 示例 2： 输入：n = 4, sick = [1] 输出：3 解释：一开始，下标为 0 ，2 和 3 的小朋友没有感冒。总共有 3 个可能的感冒序列：感冒序列 [0,2,3] ，被传染的顺序：[0,1,2,3] => [0,1,2,3] => [0,1,2,3] => [0,1,2,3] 。感冒序列 [2,0,3] ，被传染的顺序：[0,1,2,3] => [0,1,2,3] => [0,1,2,3] => [0,1,2,3] 。感冒序列 [2,3,0] ，被传染的顺序：[0,1,2,3] => [0,1,2,3] => [0,1,2,3] => [0,1,2,3] 。 参数范围： 2 <= n <= 105 1 <= sick.length <= n - 1 0 <= sick[i] <= n - 1 sick 按升序排列。 分析 分段处理

因为病毒遇到已经感冒的小朋友会停止，所以未被感染的小孩，只会有被两个小孩感染直接或间接感染： 一，他左边，从右到左第一个初始感染的。 二，他右边，从左到右第一个初始感染的。 可以将其分成若干段。

各段处理

假定初始未感染的小孩数为m，如果无任何限制，则共有m! 种可能。m!是m的阶乘。 假定某段有len个小孩： 则此段被计算了len! 次。 实际可能数，如下表：

左边的那段1中间的段2len-1右边的那段1

除掉各段被计算的次数，乘以实际的可能数。

长度为0的段的处理

必须忽略，否则可能出错。无论是那一段长度为0和长度1的结果一样。所以可能将长度为0转化成成长度为1。

代码 复用代码

template class C1097Int { public: C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD) {

} C1097Int operator+(const C1097Int& o)const { return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD); } C1097Int& operator+=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int& operator-=(const C1097Int& o) { m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD; return *this; } C1097Int operator-(const C1097Int& o) { return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD); } C1097Int operator*(const C1097Int& o)const { return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; } C1097Int& operator*=(const C1097Int& o) { m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD; return *this; } bool operator<(const C1097Int& o)const { return m_iData < o.m_iData; } C1097Int pow(long long n)const { C1097Int iRet = 1, iCur = *this; while (n) { if (n & 1) { iRet *= iCur; } iCur *= iCur; n >>= 1; } return iRet; } C1097Int PowNegative1()const { return pow(MOD - 2); } int ToInt()const { return m_iData; }

private: int m_iData = 0;; };

核心代码 class Solution { public: int numberOfSequence(int n, vector<int>& sick) { const int m = n - sick.size(); vector<C1097Int<>> vFac(1,1);//记录[0,m]的阶乘 for (int i = 1; i <= m; i++) { vFac.emplace_back(vFac.back() * i); } C1097Int<> iiRet = vFac[m];//如果没有任何限制 所有系列的可能数 const int leftLen = max(1,sick.front()); iiRet *= vFac[leftLen].PowNegative1();//扣除左端 被计算的可能数 const int rightLen = max(1, (n - 1 - sick.back())); iiRet *= vFac[rightLen].PowNegative1(); for (int i = 1; i < sick.size(); i++) { const int len = max(1,sick[i] - sick[i - 1]-1); iiRet *= vFac[len].PowNegative1();//扣除(sick[i-1],sick[i])之间的孩子被计算的可能数 iiRet *= C1097Int<>(2).pow(len - 1);//乘以这些孩子的实际数量 } return iiRet.ToInt(); } };

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17 或者 操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17