【你哥电力电子】从耦合电感到变压器

从耦合电感到变压器

2023年7月12日 dk

文章目录 从耦合电感到变压器 1. 耦合电感 1.1 一个等效 1.2 自感、互感与漏感 1.3 耦合系数 2. 变压器 3. 其他模型的推导方法 3.1 T型等效电路 3.2 其他等效电路 4. 小结 下链

1. 耦合电感 1.1 一个等效

通电导线的周围会产生磁场，磁场可以通过磁感线描述，磁感线的密度，即磁通密度（磁感应强度）使用字母 B B B 表示。磁感线是闭合曲线，磁感线穿过某电流围成的面积，称为与该电流交链。一个线圈中，每一匝导线中的电流都会产生磁感线，磁感线会与产生它的电流交链，还会与其他匝导线中的电流交链。线圈的磁链，定义为线圈每一匝导线通过的磁通量之和，即与每一匝导线中的电流交链的磁感线之和。 ψ = ∑ i = 1 N ϕ i \psi=\sum_{i=1}^N\phi_i ψ=i=1∑N​ϕi​ 由于空间上的关系，通过每一匝线圈的磁通量都不一样，而这样不方便分析，所以我们将线圈的磁链除以匝数，得到平均磁通量，这样通过每一匝线圈的磁通量都是相等的。这样还有一个好处，就是线圈内部没有相互交链的磁感线。需要明确的是，平均磁通量是一种等效。 ψ = N ϕ a v \psi=N\phi_{av} ψ=Nϕav​

线圈的电感，或者说自感，定义为线圈的磁链与通过线圈的电流的比值。 L = ψ i (1) L=\frac{\psi}{i}\tag{1} L=iψ​(1) 电感，即单位电流下磁感线与电流的交链数。（电感 → \to →交链数）

1.2 自感、互感与漏感

互感现象即两相邻线圈中，一个线圈通以时变电流，引起另一线圈中磁通量发生变化，进而在另一个线圈中产生感应电动势的现象。假设有两相邻线圈，线圈1匝数 N 1 N_1 N1​，线圈2匝数 N 2 N_2 N2​。 通过线圈1的一部分磁感线，与线圈2相交链，称这部分磁通为线圈2受线圈1的互磁通 ϕ 21 \phi_{21} ϕ21​，互磁通乘上线圈2的匝数得到互磁链 ψ 21 \psi_{21} ψ21​，互磁链与线圈1电流的比值称为线圈2受线圈1的互感 M 21 M_{21} M21​。 ψ 21 = N 2 ϕ 21 = M 21 i 1 (2) \psi_{21}=N_2\phi_{21}=M_{21}i_1\tag{2} ψ21​=N2​ϕ21​=M21​i1​(2) 同理有线圈1受线圈2的互感 M 12 M_{12} M12​。 ψ 12 = N 1 ϕ 12 = M 12 i 2 (3) \psi_{12}=N_1\phi_{12}=M_{12}i_2\tag{3} ψ12​=N1​ϕ12​=M12​i2​(3) 需要明确，两部分磁通 ϕ 12 \phi_{12} ϕ12​ 与 ϕ 21 \phi_{21} ϕ21​ 是两个不同的东西，它们由不同的电流产生。由线圈1产生的所有磁通量 ϕ 11 \phi_{11} ϕ11​ 乘以匝数，得到线圈1的自感磁链 ψ 11 \psi_{11} ψ11​，再除以线圈1通过的电流可以得到线圈1的自感 L 1 L_{1} L1​ 。 ψ 11 = N 1 ϕ 11 = L 1 i 1 (4) \psi_{11}=N_1\phi_{11}=L_1i_1\tag{4} ψ11​=N1​ϕ11​=L1​i1​(4) 同理有： ψ 22 = N 2 ϕ 22 = L 2 i 1 (5) \psi_{22}=N_2\phi_{22}=L_2i_1\tag{5} ψ22​=N2​ϕ22​=L2​i1​(5) 上面四条公式可以在所有的相关教材中找到，且一般附加 M 21 = M 12 = M M_{21}=M_{12}=M M21​=M12​=M 的证明。由线圈1产生，但不与线圈2交链的磁感线，组成了漏磁通 ϕ 1 δ \phi_{1\delta} ϕ1δ​。 ϕ 11 = ϕ 1 δ + ϕ 21 (6) \phi_{11}=\phi_{1\delta}+\phi_{21}\tag{6} ϕ11​=ϕ1δ​+ϕ21​(6) 同理有： ϕ 22 = ϕ 2 δ + ϕ 12 (7) \phi_{22}=\phi_{2\delta}+\phi_{12}\tag{7} ϕ22​=ϕ2δ​+ϕ12​(7)

由于两个线圈的匝数不同，相同的磁通量在两个线圈中产生的磁链不同。以 ϕ 21 \phi_{21} ϕ21​ 为例，其穿过线圈2产生的磁链为 ψ 21 \psi_{21} ψ21​，穿过线圈1产生的磁链为 ψ e 1 \psi_{e1} ψe1​。 ψ e 1 ≔ N 1 ϕ 21 (8) \psi_{e1}\coloneqq N_1\phi_{21}\tag{8} ψe1​:=N1​ϕ21​(8) 同理： ψ e 2 ≔ N 2 ϕ 12 (9) \psi_{e2}\coloneqq N_2\phi_{12}\tag{9} ψe2​:=N2​ϕ12​(9) 显然，有： ψ e 1 = N 1 N 2 ψ 21 (10) \psi_{e1}=\frac{N_1}{N_2}\psi_{21}\tag{10} ψe1​=N2​N1​​ψ21​(10) ψ e 2 = N 2 N 1 ψ 12 (11) \psi_{e2}=\frac{N_2}{N_1}\psi_{12}\tag{11} ψe2​=N1​N2​​ψ12​(11) 电感由磁链定义，不妨令： ψ 11 = ψ 1 δ + ψ e 1 = L 1 δ i 1 + L e 1 i 1 = L 1 i 1 = N 1 ϕ 1 δ + N 1 ϕ 21 = N 1 ϕ 11 (12) \begin{align*} \psi_{11}=&\psi_{1\delta}+\psi_{e1} \\ \\ =&L_{1\delta}i_1+L_{e1}i_1=L_1i_1 \\ \\ =&N_1\phi_{1\delta}+N_1\phi_{21}=N_1\phi_{11} \end{align*} \tag{12} ψ11​===​ψ1δ​+ψe1​L1δ​i1​+Le1​i1​=L1​i1​N1​ϕ1δ​+N1​ϕ21​=N1​ϕ11​​(12) ψ 22 = ψ 2 δ + ψ e 2 = L 2 δ i 2 + L e 2 i 2 = L 2 i 2 = N 2 ϕ 2 δ + N 2 ϕ 12 = N 2 ϕ 22 (13) \begin{align*} \psi_{22}=&\psi_{2\delta}+\psi_{e2} \\ \\ =&L_{2\delta}i_2+L_{e2}i_2=L_2i_2 \\ \\ =&N_2\phi_{2\delta}+N_2\phi_{12}=N_2\phi_{22} \end{align*} \tag{13} ψ22​===​ψ2δ​+ψe2​L2δ​i2​+Le2​i2​=L2​i2​N2​ϕ2δ​+N2​ϕ12​=N2​ϕ22​​(13) 式（10）代入式（8）与（2）得到： L e 1 = N 1 N 2 M (14) L_{e1}=\frac{N_1}{N_2}M\tag{14} Le1​=N2​N1​​M(14) 同理： L e 2 = N 2 N 1 M (15) L_{e2}=\frac{N_2}{N_1}M\tag{15} Le2​=N1​N2​​M(15) 于是： L 1 = L 1 δ + L e 1 = L 1 δ + N 1 N 2 M (16) L_{1}=L_{1\delta}+L_{e1}=L_{1\delta}+\frac{N_1}{N_2}M\tag{16} L1​=L