影子价格ShadowPrice

写于：2024年1月3日晚 修改于：

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影子价格：保持其他参数不变的情况下，某约束的右端项在某个微小范围内（若超过一定范围，那么影子价格会发生变动）变动一单位，导致最优目标函数值的变动量。

每个约束对应一个影子价格，量纲为目标函数的”单位/约束单位”

原规划对偶规划 max ⁡ z = ∑ j = 1 n c j x j  s.t.  { ∑ j = 1 n a i j x j ≤ b i ( i = 1 , 2 , … , m ) x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , … , n ) \begin{aligned}& \max \mathrm{z}=\sum_{j=1}^n c_j x_j \\& \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i(i=1,2, \ldots, m) \\x_j \geq 0(j=1,2, \ldots, n)\end{array}\right.\end{aligned} ​maxz=j=1∑n​cj​xj​ s.t. {∑j=1n​aij​xj​≤bi​(i=1,2,…,m)xj​≥0(j=1,2,…,n)​​ max ⁡ w = ∑ i = 1 m b i y i  s.t.  { ∑ i = 1 m a i j y i ≥ c j ( j = 1 , 2 , … , n ) y i ≥ 0 ( i = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}& \max \mathrm{w}=\sum_{i=1}^m b_i y_i\\& \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i \geq c_j(j=1,2, \ldots, n) \\y_i \geq 0(i=1,2, \ldots, m)\end{array}\right.\end{aligned} ​maxw=i=1∑m​bi​yi​ s.t. {∑i=1m​aij​yi​≥cj​(j=1,2,…,n)yi​≥0(i=1,2,…,m)​​ 资源稀缺度

当 y i > 0 y_i>0 yi​>0 时，有 ∑ j = 1 n a i j x j = b i \sum_{j=1}^n a_{i j} x_j=b_i ∑j=1n​aij​xj​=bi​，表示资源 b i b_i bi​ 耗尽且稀缺，影子价格 y i y_i yi​ 值越大，说明资源 b i b_i bi​ 稀缺程度越大

当 y i = 0 y_i=0 yi​=0 时，有 ∑ j = 1 n a i j x j ≤ b i \sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i ∑j=1n​aij​xj​≤bi​ ，表示资源 b i b_i bi​ 未充分利用或刚用完。

边际贡献

∂ z ∗ ∂ b i = y ∗ \frac{\partial z^*}{\partial \mathrm{b}_{\mathrm{i}}}=\mathrm{y}^* ∂bi​∂z∗​=y∗ ，表示资源得到最优利用的条件下， b i b_i bi​ 每增加一单位带来目标函数值的增量（每单位第 i \mathrm{i} i 种资源对目标函数值的边际贡献)。 当资源 b i b_i bi​ 市场价格小于 y i y_i yi​ 边际价格，那么买入资源; 否则卖出。

检验数经济意义

σ j = c j − ∑ i = 1 m a i j y i = c j − C B B − 1 P j = c j − Y ∗ P j \sigma_j=c_j-\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i=c_j-C_B B^{-1} P_j=c_j-Y^* P_j σj​=cj​−∑i=1m​aij​yi​=cj​−CB​B−1Pj​=cj​−Y∗Pj​，其中 c j c_j cj​ 表示产品 j \mathrm{j} j 的价格， ∑ i = 1 m a i j y i \sum_{i=1}^m a_{i j} y_i ∑i=1m​aij​yi​ 表示生产产品 j \mathrm{j} j 所需的成本。

若 σ j > 0 \sigma_j>0 σj​>0，则生产该产品有利，换入对应变量为基变量; 若 σ j ≤ 0 \sigma_j \leq 0 σj​≤0，则不安排该产品生产，仍未非基变量。

常见设问

对偶问题最优解的经济含义/资源的影子价格的含义

资源是否充分利用及紧俏程度（互补松弛定理）；单位资源的贡献（是否在市场上购买此资源，题干需提供市场价格才能从此角度作答）/资源增加一单位，最优目标函数值的增量；是否生产某产品（检验数经济意义，生产一单位产品的边际收益与边际成本的差值，求出最终单纯形表才从此角度作答）

考察影子价格从两方面作答：

直接写出资源的影子价格；“在生产背景下，如果扩大生产需要购买何种资源”，转化题干信息：扩大生产＝目标函数值增加最多、产品生产最多。从对偶问题最优解/影子价格的经济意义–资源的紧俏程度和资源对目标函数的边际贡献。