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存在负权边的单源最短路径的原理和C++实现

创业
2025-08-18 01:03:01

负权图

此图用朴素迪氏或堆优化迪氏都会出错，floyd可以处理。

负环图

但floyd无法处理负权环，最短距离是无穷小。在环上不断循环。

经过k条边的最短距离（可能有负权变）

贝尔曼福特算法(bellman_ford)就是解决此问题的。

原理

循环k次，循环第i次时，m_vDis表示各点最多经过i-1条边的最短距离；vDis表示各点最多经过i条边的最短距离。

核心代码

template<const int INF=1000*1000*1000> class CBellMan { public: CBellMan(int n, const vector<vector<int>>& edges,int s , int k ) { m_vDis.assign(n, INF); m_vDis[s] = 0; for (int i = 1; i <= k; i++) { vector<int> curDis = m_vDis; for (const auto& v : edges) { if (INF == m_vDis[v[0]]) { continue; } curDis[v[1]] = min(curDis[v[1]], m_vDis[v[0]] + v[2]); } m_vDis.swap(curDis); } } vector<int> m_vDis; };

测试样例

#include <vector> #include<assert.h> using namespace std;

int main() { const int INF = 1000 * 1000 * 1000; vector<vector<int>> edges = { {0,1,1},{1,2,2},{2,3,3},{3,0,-7} }; vector<vector<int>> results = { {0,INF,INF,INF},{0,1,INF,INF},{0,1,3,INF},{0,1,3,6},{-1,1,3,6},{-1,0,3,6},{-1,0,2,6},{-1,0,2,5},{-2,0,2,5} }; for (int i = 0; i < results.size(); i++) { CBellMan<> bm(4, edges, 0, i); for (int j = 0; j < 4; j++) { assert(bm.m_vDis[j] == results[i][j]); } } }

最短路径

最短路径就是经过“点数-1”条边的最短路径。如果没环，这些边可以到达任意点。如果有正权环和0权环，则拿掉这个环。如果负权环，则最小距离是无穷小。下面来检测负权环。循环“点数-1”后，再循环一次，如果有点的最短距离变小，则一定有负权环；没负权环，不会变短。如果有负权环，则再循环一次，一定有点（任意负权环的负权边的终点）距离变短。假定此点是e，拿掉负权环上所有的边后，源点到e的最短路径为Path。不拿掉负权环，则e的最短路径为:Path+此负权环。

核心代码

template<const int INF=1000*1000*1000> class CBellMan { public: CBellMan(int n, const vector<vector<int>>& edges,int s , int k ) { m_vDis.assign(n, INF); m_vDis[s] = 0; for (int i = 1; i <= k; i++) { vector<int> curDis = m_vDis; Do(edges, curDis); m_vDis.swap(curDis); } } bool Check(const vector<vector<int>>& edges) { vector<int> curDis = m_vDis; Do(edges, curDis); for (int i = 0; i < curDis.size(); i++) { if (m_vDis[i] != curDis[i]) { return true; } } return false; } void Do(const std::vector<std::vector<int>>& edges, std::vector<int>& curDis) { for (const auto& v : edges) { if (INF == m_vDis[v[0]]) { continue; } curDis[v[1]] = min(curDis[v[1]], m_vDis[v[0]] + v[2]); } } vector<int> m_vDis; };

测试样例

#include <vector> #include<assert.h> #include "BellMan.h" using namespace std;

void Test1() { const int INF = 1000 * 1000 * 1000; vector<vector<int>> edges = { { 0,1,1 },{ 1,2,2 },{ 2,3,3 },{ 3,0,-7 } }; vector<vector<int>> results = { { 0,INF,INF,INF },{ 0,1,INF,INF },{ 0,1,3,INF },{ 0,1,3,6 },{ -1,1,3,6 },{ -1,0,3,6 },{ -1,0,2,6 },{ -1,0,2,5 },{ -2,0,2,5 } }; for (int i = 0; i < results.size(); i++) { CBellMan<> bm(4, edges, 0, i); for (int j = 0; j < 4; j++) { assert(bm.m_vDis[j] == results[i][j]); } } }

void Test2() { const int INF = 1000 * 1000 * 1000; vector<vector<int>> edges = { { 0,1,1 },{ 1,2,2 },{ 2,3,3 },{ 3,0,-7 } }; vector<int> results = { false,false,true }; for (int i = 0; i < 3; i++) { edges[3][2] = -5 - i; CBellMan<> bm(4, edges, 0, 3); assert(results[i] == bm.Check(edges)); } } int main() { Test1(); Test2(); }

其它测试环境

win7 VS2019 C++17