《动手学机器人学》笔记

目录 0.介绍1.概述｜空间位置、姿态的描述（3×3）｜《动手学机器人学》2.（2）-Robotics Toolbox①（V10.4）3.齐次坐标与变换矩阵4.一般形式的旋转变换矩阵5.（轴角法）或（Rodrigues' rotation formula）或（罗德里格旋转公式）或（一般形式的旋转变换矩阵）详细推导证明6.空间位姿表示方法-----RPY角7.欧拉角 | 空间位姿表示方法 |《动手学机器人学》8.标准DH参数详解+案例分析【1】

0.介绍

原课程来源于b站劉海濤LHT，链接：【《动手学机器人学》开课了】 .bilibili /video/BV1CY4y1W7Ry/?share_source=copy_web&vd_source=338eeada513a018955017f069032f82c

1.概述｜空间位置、姿态的描述（3×3）｜《动手学机器人学》

1.1正运动学（forward kinematics，简写FK），根据机器人的关节角度，计算末端位姿 1.2逆运动学（inverse kinematics，简写IK），根据末端位姿，反解关节角 1.3 1.4除了空间某点位置还需要确定空间物体方位，用旋转矩阵表示

2.（2）-Robotics Toolbox①（V10.4）

2.1安装教程可以参考这个 blog.csdn.net/m0_71721954/article/details/145087352。注意：设置路径的时候，到MATLAB\R2024b\toolbox这一层，否则容易出现找不到命令。 2.2 相关命令

% 二维空间姿态 >> SE2(1,2,pi/3) ans = 0.5000 -0.8660 1 0.8660 0.5000 2 0 0 1 >> trplot(ans)

% 纯平移 >> transl2(1,2) ans = 1 0 1 0 1 2 0 0 1 % 绕x轴旋转，角度一定要用弧度制 >> rotx(pi/3) ans = 1.0000 0 0 0 0.5000 -0.8660 0 0.8660 0.5000 % 绕y轴旋转 >> roty(pi/3) ans = 0.5000 0 0.8660 0 1.0000 0 -0.8660 0 0.5000 % 绕z轴旋转 >> rotz(pi/3) ans = 0.5000 -0.8660 0 0.8660 0.5000 0 0 0 1.0000 % 齐次 >> trotx(pi/3) ans = 1.0000 0 0 0 0 0.5000 -0.8660 0 0 0.8660 0.5000 0 0 0 0 1.0000 >> troty(pi/3) ans = 0.5000 0 0.8660 0 0 1.0000 0 0 -0.8660 0 0.5000 0 0 0 0 1.0000 >> trotz(pi/3) ans = 0.5000 -0.8660 0 0 0.8660 0.5000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 >> rotx(pi/3) ans = 1.0000 0 0 0 0.5000 -0.8660 0 0.8660 0.5000 % 三维轨迹 >> trplot(ans) % 动画演示（图略） >> tranimate(ans)

3.齐次坐标与变换矩阵

3.1齐次坐标用 n + 1 n+1 n+1维来代表 n n n维坐标

3.2 引入齐次坐标的目的是，合并矩阵运算中的乘法和加法 3.3 （特别重要）矩阵的左乘和右乘的运动解释是不一样的。对于固定坐标系：变化顺序“从右向左”；对于相对坐标系：变化顺序“从左向右”。

说明这个物体在空间里做刚体运动。

4.一般形式的旋转变换矩阵

4.1 通用的旋转变换矩阵：已知旋转轴和旋转角度，得到旋转矩阵 4.2 已知旋转矩阵，得到旋转轴和旋转角度（过程略） 旋转角度 θ = a r c c o s ( . . . ) \theta=arccos(...) θ=arccos(...) 旋转轴 注意：存在多解，等效轴和转角不唯一，一般角度在0度到180度

这题就能解了 4.3 matlab中的函数

% 已知旋转角度和旋转轴，求旋转矩阵 >> angvec2r(pi/3,[1,0,0]) ans = 1.0000 0 0 0 0.5000 -0.8660 0 0.8660 0.5000 >> rotx(pi/3) ans = 1.0000 0 0 0 0.5000 -0.8660 0 0.8660 0.5000 % 齐次 >> angvec2tr(pi/3,[1,0,0]) ans = 1.0000 0 0 0 0 0.5000 -0.8660 0 0 0.8660 0.5000 0 0 0 0 1.0000

4.4 练习题

function [f,theta] = resolve_f_theta(T) nx = T(1,1); ox = T(1,2); ax = T(1,3); ny = T(2,1); oy = T(2,2); ay = T(2,3); nz = T(3,1); oz = T(3,2); az = T(3,3); theta = acos(0.5*(nx + oy + az - 1)); if(theta == 0 || theta == 180) fprintf("error!"); else fx = (oz - ay)/(2*sin(theta)); fy = (ax - nz)/(2*sin(theta)); fz = (ny - ox)/(2*sin(theta)); f = [fx,fy,fz]; end end >> [f,theta] = resolve_f_theta([0 1 0;0 0 -1;-1 0 0]) f = 0.5774 0.5774 -0.5774 theta = 2.0944 >> 2*pi/3 ans = 2.0944 >> sqrt(3)/3 ans = 0.5774 5.（轴角法）或（Rodrigues’ rotation formula）或（罗德里格旋转公式）或（一般形式的旋转变换矩阵）详细推导证明

5.1 一般形式旋转矩阵公式证明

这个公式的意义，空间中给定任意的向量v，绕着旋转轴和旋转角，得到旋转后的向量v‘

>> t=2*pi/3 t = 2.0944 >> u = [sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3]' u = 0.5774 0.5774 -0.5774 >> v = [1 2 3]' v = 1 2 3 >> result = cos(t)*v + (1-cos(t))*dot(u,v)*u+sin(t)*cross(u,v) result = 2.0000 -3.0000 -1.0000

进一步化简成矩阵形式

5.2 齐次坐标变换

6.空间位姿表示方法-----RPY角

6.1 RPY角

syms alpha beta gamma T1 T2 T3 RPY T1 = [cos(alpha) -sin(alpha) 0;sin(alpha) cos(alpha) 0; 0 0 1]; T2 = [cos(beta) 0 sin(beta);0 1 0;-sin(beta) 0 cos(beta)]; T3 = [1 0 0;0 cos(gamma) -sin(gamma); 0 sin(gamma) cos(gamma)]; RPY = T1*T2*T3; display(RPY);

% 给RPY角输出旋转矩阵 >> rpy2r(pi/6,pi/3,pi/4) ans = 0.3536 -0.3062 0.8839 0.3536 0.9186 0.1768 -0.8660 0.2500 0.4330 % RPY角分别对应绕x,y,z轴旋转 >> rotz(pi/4)*roty(pi/3)*rotx(pi/6) ans = 0.3536 -0.3062 0.8839 0.3536 0.9186 0.1768 -0.8660 0.2500 0.4330 >> rpy2tr(pi/6,pi/3,pi/4) ans = 0.3536 -0.3062 0.8839 0 0.3536 0.9186 0.1768 0 -0.8660 0.2500 0.4330 0 0 0 0 1.0000 % 已知旋转矩阵得到RPY角 >> tr2rpy(ans) ans = 0.5236 1.0472 0.7854 >> pi/6 ans = 0.5236 >> pi/3 ans = 1.0472 >> pi/4 ans = 0.7854 >> atan2(1,2) ans = 0.4636 % 转化为角度 >> atan2d(1,2) ans = 26.5651

6.2

>> T =[0.527 -0.574 0.628 3;0.369 0.819 0.439 2;-0.766 0 0.643 -4;0 0 0 1] T = 0.5270 -0.5740 0.6280 3.0000 0.3690 0.8190 0.4390 2.0000 -0.7660 0 0.6430 -4.0000 0 0 0 1.0000 >> rpy=tr2rpy(T); >> display(rpy) rpy = 0 0.8725 0.6109 >> rpy2r(rpy) ans = 0.5267 -0.5736 0.6274 0.3688 0.8192 0.4393 -0.7659 0 0.6429 7.欧拉角 | 空间位姿表示方法 |《动手学机器人学》

7.1 欧拉角

>> [alpha, beta, gamma] = resolve_zyz_theta([0.527 -0.574 0.628;0.369 0.819 0.439;-0.766 0 0.643]) alpha = 0.6101 beta = 0.8725 gamma = 0 % 欧拉角变旋转矩阵 >> eul2r([alpha, beta, gamma]) ans = 0.5269 -0.5729 0.6277 0.3684 0.8196 0.4388 -0.7659 0 0.6429

7.2 matlab常用函数

>> eul2r([pi/6 pi/4 pi/3]) ans = -0.1268 -0.7803 0.6124 0.9268 0.1268 0.3536 -0.3536 0.6124 0.7071 >> eul2tr([pi/6 pi/4 pi/3]) ans = -0.1268 -0.7803 0.6124 0 0.9268 0.1268 0.3536 0 -0.3536 0.6124 0.7071 0 0 0 0 1.0000 % tr2eul(ans,'deg')能直接输出角度 >> tr2eul(ans) ans = 0.5236 0.7854 1.0472 >> ans*180/pi ans = 30.0000 45.0000 60.0000 8.标准DH参数详解+案例分析【1】

8.1 DH参数法描述串联式连杆和关节的系统方法 DH参数法式描述串联式连杆和关节的系统方法。 8.2 有两种DH参数法：标准DH和改进的DH参数 改进的DH参数法坐标系{i}建立在{i}关节的轴线上，而不是标准DH方法将坐标系{i}建立在{i+1}关节的轴线上

因为matlab工具箱theta默认是0度 PQArt软件也可以进行机器人仿真